Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若2sinC=sinA+sinB，且$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=18，求c边的长．

Answer 1

分析 （1）利用数量积推出三角方程，然后求解C的大小．
（2）利用数量积转化求出ab的值，利用正弦定理以及余弦定理，转化求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC$…（3分）
∴sinC=sin2C⇒sinC=2sinCcosC，
∴$cosC=\frac{1}{2}\;\;\;⇒\;\;\;C=60°$…（6分）
（2）$\overrightarrow{CA}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=abcosC=18\;\;⇒\;\;ab=36$…（8分）
又∵2sinC=sinA+sinB⇒2c=a+b，
∴c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC
⇒c²=4c²-3ab
⇒c²=36
⇒c=6…（12分）

点评 本题考查平面向量的数量积的应用，三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．