Question

15．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，其中一角为30°，则双曲线E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合a，b，c的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
若，△ABM为等腰三角形，其中一角为30°，
则只能是|AB|=|BM|，∠BAM=30°，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故点M的坐标为M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即为a²=b²，即c²=2a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：D

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件结合三角形的边角公式进行求解是解决本题的关键．注意运用点满足双曲线的方程，考查运算能力，是中档题．