Question

当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x³|≤

1

2

恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、

  3

  2

  ≥a≥-

  1

  2

• B、-

  1

  2

  ≥a≥

  1

  2

• C、a≥-

  1

  2

• D、a≤

  3

  2

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得 0≤x≤

1

2

时，即

a≥2x2- 1 2x a≤2x2+ 1 2x

．利用单调性求得函数y=2x²-

1

2x

在[0

1

2

]上的最大值、函数t=2x²+

1

2x

在[0

1

2

]上的最小值，即可求得a的范围．

解答： 解：由题意可得 0≤x≤

1

2

时，-

1

2

≤ax-2x³≤

1

2

恒成立，即

a≥2x2- 1 2x a≤2x2+ 1 2x

．
由于函数y=2x²-

1

2x

在[0

1

2

]上是增函数，故y的最大值为 2×

1

4

-

1

2× 1 2

=-

1

2

．
对于函数t=2x²+

1

2x

，当0≤x≤

1

2

时，∵t′=

4x2-1

2x2

≤0，
故函数t在[0

1

2

]上是减函数，故t的最小值为  2×

1

4

+

1

2× 1 2

=

3

2

．
根据题意可得a大于或等于y的最大值，且a小于或等于t的最小值，故a的范围为[-

1

2

，

3

2

]，
故选：A．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础档题．