Question

已知函数f（x）=x²-alnx，a∈R，g（x）=x²+（a+2）x+1，若a＞0，且对任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意得出f（x）=x²-alnx，a∈R，x₂∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x²+（a+2）x+1，x₁∈[-1，2]的值域为B，即B⊆A，分类讨论当a≤0时，②当a＞0时，利用最小值的关系，求解即可得出范围．

解答： 解：∵对任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），
∴f（x）=x²-alnx，a∈R，x₂∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x²+（a+2）x+1，x₁∈[-1，2]的值域为B，
∴B⊆A
①当a≤0时，f（x）=x²-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），单调递增，
∴f（x）的值域为A=R，
∵g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]的值域为B是一个闭区间，
∴B⊆A，
∴对任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），
②当a＞0时，f（x）=x²-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），
f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，
可判断（0，

a 2

）单调递减，（

a 2

，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（

a 2

）=

a

2

-aln

a 2

，
∴值域A=[

a

2

-aln

a 2

，+∞），
∵g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，
x=-1-

a

2

＜-1，
∴g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，单调递增，
g（x）_min=g（-1）=-a，
要满足B⊆A，只需-a≥

a

2

-aln

a 2

，即a≥2e³，
由①②得a的取值范围为：a≤0或a≥2e³．

点评：本题考查了两个函数值域的问题，运用导数，判断单调性，再求解值域，本题的关键是确定两个函数的值域的关系，从而得出不等关系．