Question

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，去掉绝对值符号，然后求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立，转化为分段函数，然后求实数m的取值范围．

解答： （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）由f（x）≤2得|x-a|≤2，解得a-2≤x≤a+2，------------------（2分）
又不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，所以

a-2=1 a+2=5

，解得a=3；
-------------------（4分）
（2）当a=3时，f（x）=|x-3|，--------------------（5分）
设g（x）=f（2x）+f（x+2），
则g(x)=f(2x)+f(x+2)=|2x-3|+|x-1|=

3x-4，       x≥ 3 2 2-x，        1＜x＜ 3 2 -3x+4，      x≤1

，
所以g（x）的最小值为g(

3

2

)=

1

2

，-------------------（8分）
故当不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立时实数m的取值范围是m≤

1

2

．
---------------（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．