Question

（2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ）

A.（1，2） B.（2，3） C.（，1） D.（0，）

Answer 1

B

【解析】

试题分析：由?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．

【解析】
∵对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，

∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c，

∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3，

∴f（x）=log3 x+3，

∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣log3e在（1，+∞）上为增函数，

g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log3＞0，

由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．

故选B．