Question

已知双曲线

x2

3

-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，其一条渐近线方程为y=

2

x，点P在该双曲线上，且

PF1

•

PF2

=8，则S△PF1F2=（　　）

• A、4
• B、4

  6

• C、8
• D、2

  21

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出b，c，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，PF₁，PF₂的夹角为α，则mncosα=8，利用余弦定理，计算mn=20，可得cosα，求出sinα，利用S△PF1F2=

1

2

mnsinα，即可得出结论．

解答： 解：∵双曲线

x2

3

-

y2

b2

=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=

2

x，
∴

b

3

=

2

，
∴b=

6

，
∴c=3，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，PF₁，PF₂的夹角为α，则mncosα=8，
∴36=m²+n²-2mncosα，
∴m²+n²=52，
∵|m-n|=2

3

，
∴mn=20，
∴cosα=

2

5

，
∴sinα=

21

5

，
∴S△PF1F2=

1

2

mnsinα=

1

2

×20×

21

5

=2

21

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出mn的值是关键．