Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₂=-1，a₆=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求通项公式；
（2）求出b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n=（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）等差数列{a_n}的公差为d，a₂=-1，a₆=7，
可得a₁+d=-1，a₁+5d=7，
解得a₁=-3，d=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=-3+2（n-1）=2n-5，n∈N*；
（2）b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n=（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和为S_n=-3•$\frac{1}{2}$+（-1）•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-7）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=-3•（$\frac{1}{2}$）²+（-1）•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-7）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=-3•$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{3}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=-1-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．