Question

在数列{a_n}中，已知S_n=（n+1）•（a_n-n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁及a_n；
（Ⅱ）求数列{an•3n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出{a_n}是一个以2为首项，以2为公差的等差数列，由此能求出a₁=2，a_n=2n．
（Ⅱ）由an•3n=2n•3n，利用错位相关汪云彩求出数列{an•3n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=（n+1）•（a_n-n）（n∈N^*），
∴a₁=2（a₁-1），解得a₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n+1）•（a_n-n）-n•（a_n-1-n+1）
∴a_n-a_n-1=2，
当n=1时，上式成立，
∴{a_n}是一个以2为首项，以2为公差的等差数列，
∴a₁=2，a_n=2n．（6分）
（Ⅱ）∵an•3n=2n•3n，数列{an•3n}的前n项和T_n，
∴Tn=2•31+4•32+6•33+…+2n•3n，（8分）
3Tn=2•32+4•33+6•34+…+2n•3n+1，（9分）
两式相减，得：
-2T_n=2•3+2•3²+2•3³+2•3⁴+…+2•3ⁿ-2n•3ⁿ⁺¹
=

2•3(1-3n)

1-3

-2n•3^n-1
=（1-2n）•3^n-1-3，
∴T_n=（n-

1

2

）•3ⁿ⁺¹+

3

2

．（12分）．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．