Question

1．已知动点M（x，y）的坐标满足方程$\sqrt{{{（y+5）}^2}+{x^2}}-\sqrt{{{（y-5）}^2}+{x^2}}=8$，则M的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1（x＞0）$
• D． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1（y＞0）$

Answer 1

分析 由动点M（x，y）的坐标满足方程$\sqrt{{{（y+5）}^2}+{x^2}}-\sqrt{{{（y-5）}^2}+{x^2}}=8$及两点间的距离公式，得到其轨迹是以（0，±5）为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，进而得到对应标准方程．

解答 解：设A（0，5），B（0，-5）
由于动点M（x，y）的坐标满足方程$\sqrt{{{（y+5）}^2}+{x^2}}-\sqrt{{{（y-5）}^2}+{x^2}}=8$，
则|MB|-|MA|=8，故点P到定点B（0，-5）与到定点A（0，5）的距离差为8，
则动点M（x，y）的轨迹是以（0，±5）为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，
由于2a=8，c=5，则b²=c²-a²=25-16=9，
故M的轨迹的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1（y＞0）．
故选：D．

点评 本题考查求点的轨迹方程的方法，两点间距离公式的应用，判断动点M（x，y）的轨迹是以（0，±5）为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，是解题的关键．