Question

某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．
（I）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；
（Ⅱ）设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D，设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则M=

.

A

BCD+A

.

B

CD+AB

.

C

D+ABC

.

D

．由此能求出该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．
则P（A）=

18

30

=

3

5

，P（B）=

15

30

=

1

2

，P（C）=

9

30

=

3

10

，P（D）=

15

30

=

1

2

．
设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则
M=

.

A

BCD+A

.

B

CD+AB

.

C

D+ABC

.

D

．
则P（M）=

2

5

×

1

2

×

3

10

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

3

10

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

7

10

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

3

10

×

1

2

=

9

40

．…（5分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=

14

200

=

7

100

，
P（ξ=1）=

55

200

=

11

40

，
P（ξ=2）=

77

200

，
P（ξ=3）=

45

200

=

9

40

，
P（ξ=4）=

9

200

．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
p	7 100	11 40	77 200	9 40	9 200

E（ξ）=0×

14

200

+1×

55

200

+2×

77

200

+3×

45

200

+4×

9

200

=

19

10

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．