Question

19．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x²，函数g（x）=kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性先求出函数在一个周期内的[-1，1]的解析式，作出函数f（x）的图象，根据不等式的解集关系，确定直线斜率k的范围即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）是偶函数，
当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，
∴f（x）=x²，x∈[-1，1]，
∵定义在R上的函数f（x）的周期是2，
作出函数f（x）的图象，
∵不等式f（x）≤g（x）的解集是
[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），
∴函数直线y=kx在[0，1]，[1，3]内相交，
且在当x≥5时，不等式无解，
当直线经过点A（3，1）时，y=$\frac{1}{3}$x，
此时不等式的解集不满足，
当直线经过点B（5，1）时，y=$\frac{1}{5}$x，此时不等式的解集满足条件，
则若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），
则k满足$\frac{1}{5}$≤k＜$\frac{1}{3}$，
即正数k的取值范围是[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：$[{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件求出函数在一个周期的解析式，利用数形结合，结合不等式的解集关系，确定斜率k的取值范围是解决本题的关键．