Question

已知实数9，a，b依次构成公差小于0的等差数列，且9，a+2，b+20依次构成等比数列{a_n}的前三项，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n的最小值为（　　）

• A、

  16

  3

• B、6
• C、

  27

  4

• D、9

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得a，b的方程组，进而可得等比数列{a_n}的公比，可得S_n，由函数的极限可得．

解答： 解：由题意可得

2a=b+9 (a+2)2=9(b+20)

，
消去b整理可得a²-14a-95=0，
解得a=19，或a=-5，
分别可得b=28，b=-19，
∵实数9，a，b依次构成公差小于0的等差数列，
∴a=-5，b=-19，∴a+2=-3，b+20=1，
∴等比数列{a_n}的公比q=-

1

3

，
∴S_n=

9[1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=

27

4

[1-（-

1

3

）ⁿ]，
∴当n趋向于无穷大时，S_n取最小值

27

4

故选：C

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合，涉及求和公式和函数的极限，属中档题．