Question

对于任意非零实数a，b，已知y=f（x），x∈（-∞，0）∪（0，+∞），满足f（ab）=f（a）+f（b）
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）证明y=f（x）是偶函数；
（3）当x＞1时f（x）＞0，若f（2）=1，求f（x）在区间[8，32]上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件中的恒等式，可对a、b进行赋值，令a=b=1，求出f（1）的值，令a=b=-1，求出f（-1）的值；
（2）根据f（-1）=0，令b=-1，可得到f（-x）与f（x）的关系，根据奇偶性的定义可进行判定．
（3）先证明f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）在区间[8，32]上：f（8）≤f（x）≤f（32）．

解答： 解：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令a=b=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
综上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）∵f（ab）=f（a）+f（b），∴f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数．
（3）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0，
则f（x₂）=f（

x2

x1

x1）=f(

x2

x1

)+f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（x）在区间[8，32]上：f（8）≤f（x）≤f（32）
∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，f（8）=f（2×4）=f（2）+2f（2）=3f（2）=3，
f（32）=f（32）=f（4×8）=f（4）+f（8）=2+3=5，
值域为[3，5]

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，对于抽象函数问题，赋值法是常用的方法，属于基础题．