题目内容
如图，正三棱锥P-ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足DE=EF=3，DF=2的△DEF个数是（ ）| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：棱锥的结构特征
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：设PD=x，PE=y，PF=z，在三角形PDE和三角形PEF、三角形PDF中应用余弦定理得到x，y，z的方程组，求出解即可判断三角形DEF的个数．
解答：
解：设PD=x，PE=y，PF=z，则
∵DE=EF=3，DF=2，
∴由余弦定理得，x2+y2-2xy•
=9①
y2+z2-2yz•
=9②
z2+x2-2zx•
=4③
①-②得，x2-z2=xy-yz，
即（x+z）（x-z）=y（x-z），
（1）若x=z，则由③得，x=z=2，
由①得，y=1+
，
（2）若x≠z，则y=x+z，
代入②，得，x2+z2+xz=9，
又x2+z2-zx=4，
解得，x=
，z=
或x=
，z=
；
故符合条件的△DEF的个数由3个．
故选：C．
∵DE=EF=3，DF=2，
∴由余弦定理得，x2+y2-2xy•
| 1 |
| 2 |
y2+z2-2yz•
| 1 |
| 2 |
z2+x2-2zx•
| 1 |
| 2 |
①-②得，x2-z2=xy-yz，
即（x+z）（x-z）=y（x-z），
（1）若x=z，则由③得，x=z=2，
由①得，y=1+
| 6 |
（2）若x≠z，则y=x+z，
代入②，得，x2+z2+xz=9，
又x2+z2-zx=4，
解得，x=
5
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
5
| ||
| 2 |
故符合条件的△DEF的个数由3个．
故选：C．
点评：本题主要考查正四面体的定义和通过方程组的解的个数，判断三角形的个数，体现数形结合的思想方法，是一道中档题．
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|
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|
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