Question

16．已知在平面直角坐标系xOy中，过定点P倾斜角为α的直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆心的极坐标为（3，$\frac{π}{2}$），半径为3的圆C与直线l交于A，B两点，则|PA|•|PB|=16．

Answer 1

分析 由题意可得圆C标准方程为：x²+（y-3）²=9．把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t²-10tsinα+16=0．利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：圆心的极坐标为（3，$\frac{π}{2}$）即（0，3），半径为3的圆C标准方程为：x²+（y-3）²=9．
把直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆的方程可得：t²-10tsinα+16=0．
∴t₁t₂=16．
则|PA|•|PB|=|t₁t₂|=16．

点评 本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．