Question

5．已知a为实数，f（x）=x³+$\frac{1}{2}$ax²-6x+4．
（1）当a=-3时，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的极值点，计算极值和端点坐标，从而求出函数的最值；
（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=-3时，f（x）=x³+$\frac{1}{2}$ax²-6x+4，
f′（x）=3x²-3x-6，
由3x²-3x-6=0得：x=-1或x=2是函数f （x）的极值点（4分）
∴f （-2）=2，f（-1）=$\frac{15}{2}$，f （2）=-6，f（3）=-$\frac{1}{2}$，
∴f （x）在[-2，3]上的最大值是$\frac{15}{2}$，最小值是-6．
（2）f′（x）=3x²+ax-6，
若f （x）在[-1，1]上单调递减，则3x²+ax-6≤0在[-1，1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3-a-6≤0}\\{3+a-6≤0}\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤3，
∴a的取值范围是[-3，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．