Question

已知数列{a_n}的项是由1或2构成，且首项为1，在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即数列{a_n}为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀=

 

；S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：设f（k）=2k-1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…，前20项中共有16个2，4个1，由此求出S₂₀=1×4+2×16=36；记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为b_k，则b_k=2k，b₁+b₂+…+b_n=2+4+…+2n=n（n+1）＜2014，由此推导出前2014项中有45个1以及1969个2，由此能求出S₂₀₁₄=45+1969×2=3983．

解答： 解：设f（k）=2k-1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…
∴前20项中共有16个2，4个1
S₂₀=1×4+2×16=36．
记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为b_k，则b_k=2k
b₁+b₂+…+b_n=2+4+…+2n=n（n+1）＜2014，
而46×45=1910＜2011，47×46=2162＞2014
故n=45即前2014项中有45个1以及1969个2，所以S₂₀₁₄=45+1969×2=3983．
故答案为：36，3983．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行分组，是中档题．