Question

已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P
的直线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且
PQ与C在点P处的切线垂直?
若存在, 求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.

Answer 1

x² = 4y ,满足条件的点P存在,其坐标为P(±4,4)

(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x² = ay,
则,       即a =" 4" .
故所求抛物线C的方程为x² = 4y .            …………………(5分)
(Ⅱ) 解:设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) ,
则抛物线C在点P处的切线方程是：,
直线PQ的方程是： .
将上式代入抛物线C的方程, 得：,
故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,
所以x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .
而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),
×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1
＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1
＝－2y₁－－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)
＝(y₁＋1)²－＝＝0,
故 y₁＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意.
所以,满足条件的点P存在,其坐标为P(±4,4). ………………(15分)