Question

15．两定点A（-2，0），B（2，0）及定直线$l：x=\frac{10}{3}$，点P是l上一个动点，过B作BP的垂线与AP交于点Q，则点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

Answer 1

分析 设P（$\frac{10}{3}$，m），Q（x，y），求出AP，BP，AQ，BQ的斜率，根据A，P，Q三点共线得出m关于x，y的关系，根据垂直关系列方程化简得出答案．

解答 解：设P（$\frac{10}{3}$，m），Q（x，y），
则k_BP=$\frac{m}{\frac{10}{3}-2}$=$\frac{3m}{4}$，k_BQ=$\frac{y}{x-2}$，
∵BP⊥BQ，
∴$\frac{3m}{4}•\frac{y}{x-2}$=-1，即4x+3my-8=0，
∵A，P，Q三点共线，
∴$\frac{m}{\frac{10}{3}+2}=\frac{y}{x+2}$，∴m=$\frac{16y}{3（x+2）}$，
代入4x+3my-8=0得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，属于中档题．