Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=λ（a＞0，b＞0，λ≠0）的渐近线经过点（2，1），则双曲线的离心率e=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①λ＞0，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=λ方程化为

x2

λa2

-

y2

λb2

=1，可得渐近线方程为y=±

λ b

λ a

x，把点（2，1）代入可得2b-a=0，利用e=

c

a

=

1+ b2 a2

即可得出．
②λ＜0，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=λ方程化为

y2

-λb2

-

x2

-λa2

=1，可得渐近线方程为y=±

-λ a

-λ b

x，把点（2，1）代入可得2a-b=0，再利用e=

c

a

=

1+ a2 b2

即可得出．

解答： 解：①λ＞0，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=λ方程化为

x2

λa2

-

y2

λb2

=1，∴渐近线方程为y=±

λ b

λ a

x，即bx±ay=0，把点（2，1）代入可得2b-a=0，∴a=2b．
∴e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

5

2

．
②λ＜0，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=λ方程化为

y2

-λb2

-

x2

-λa2

=1，∴渐近线方程为y=±

-λ a

-λ b

x，即ax±by=0，把点（2，1）代入可得2a-b=0，∴b=2a．
∴e=

c

a

=

1+ a2 b2

=

5

2

．
综上可得：双曲线的离心率e=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程、离心率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题．