Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，且点（1，

3

2

）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F₁的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若△AOB的面积为

6 2

7

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆方程，由离心率公式，以及a，b，c的关系，和已知点代入方程，求出a，b即可；
（2）求出左焦点坐标，设出直线l的方程，注意斜率不存在的情况，将直线方程与椭圆方程联立消去y，得到关于x的二次方程，运用韦达定理，再用弦长公式，求出原点到直线的距离，运用面积公式，列出方程，然后求出k²，即可得到l的方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
又e=

c

a

=

1

2

，a²-b²=c²，

1

a2

+

9 4

b2

=1，
解得，a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于F₁（-1，0），设直线l的方程为x=-1或y=k（x+1），
若l；x=-1，则AB=

2×3

2

=3，△ABO的面积为

3

2

，不成立；
若l：y=k（x+1），将其代入椭圆方程，得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴AB=

1+k2

64k4 (3+4k2)2 - 16k2-48 3+4k2

=

1+k2

•

12 1+k2

3+4k2

又O到直线l的距离为

|k|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

•

|k|

1+k2

•

12(1+k2)

3+4k2

=

6 2

7

，
解得k²=1，即k=±1，
∴直线l的方程为：y=±（x+1）．

点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查运算能力．