Question

在平面内，设到定点F（0，2）和x轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C，直线l过点F，交曲线C于M，N两点．
（1）说明曲线C的形状，并画出图形；
（2）求线段MN长度的范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,两点间的距离公式

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设动点P（x，y），利用到定点F（0，2）和x轴距离之和为4，建立方程，分类讨论，化简可得方程，从而说明曲线C的形状，并画出图形；
（2）分类讨论，利用当l过BD时，|MN|最小，最小值为4，当l过C（或A）时，|MN|最大，即可求线段MN长度的范围．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），由已知得：

x2+(y-2)2

+|y|=4   （1分）
当y≥0时，化简得：x²=-4（y-3）
当y＜0时，化简得：x²=12（y+1）（3分）
∴如图：曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为y=-4和y=4，顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD…（6分）
（2）当M、N在两支抛物线上时，过M、N分别作相应准线的垂线，垂足分别是M₁、N₁，由抛物线定义，MM₁=MF；NN₁=NF，
设M、N的纵坐标分别为y₁，y₂，|MN|=8-（|y₁|+|y₂|）
当l过BD时，|MN|最小，最小值为4，
当l过C（或A）时，|MN|最大，
此时直线l的方程为-x+

3

y=2

3

和抛物线x²=-4（y-3）
另一个交点M（

2

3

，

8

3

），|MN|最大值为

16

3

，
∴|MN|范围是[4，

16

3

]（10分）
同理，当M、N都在上支抛物线上时，|MN|范围也是[4，

16

3

]
∴由上综述：|MN|范围是[4，

16

3

]（13分）

点评：本题考查轨迹与轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．