Question

已知函数f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函数，则下列命题是真命题的是

 

①f（1）=1；
②f（x）的导函数f′（x）是奇函数；
③f（x）在区间（0，1）上是增函数；
④f（x）有一个零点；
⑤函数y=f（x）与函数y=x²+2的图象有且只有一个公共点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据函数f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函数，满足f（-x）=f（x），求出k值，进而求出函数的解析式，再逐一分析五个命题的真假，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即（1+k）（e^-x-e^x）=0，
即k=-1，
此时f（x）=x²+e^x+e^-x，
∴①f（1）=1+e+e^-1≠1，故错误；
②f（x）的导函数f′（x）=2x+e^x-e^-x是奇函数，故正确；
③当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在区间（0，1）上是增函数，故正确；
④由③结合函数f（x）为偶函数，可得当且仅当x=0时，函数取最小值2，故f（x）没有零点，故错误；
⑤令h（x）=x²+e^x+e^-x-（x²+2）=e^x+e^-x-2，则当且仅当x=0时，h（x）=0，故函数y=f（x）与函数y=x²+2的图象有且只有一个公共点，故正确．
综上所述命题是真命题的是：②③⑤，
故答案为：②③⑤

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的奇偶性，单调性，函数的零点，难度中档．