Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的边长及棱的长度均为2，求：
（1）异面直线AC及A₁B₁的距离．
（2）点C₁到平面A₁BC的距离；
（3）三棱锥C₁-A₁BC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC及A₁B₁的距离．
（2）求出平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出点C₁到平面A₁BC的距离．
（3）求出S△A1BC=

1

2

×2×

(2 2 )2-1

=

7

，由此能求出三棱锥C₁-A₁BC的体积．

解答： 解：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁这z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（0，2，0），B（

3

，1，0），
A₁（0，0，2），B₁（

3

，1，2），C₁（0，2，2），

AC

=（0，2，0），

A1B1

=（

3

，1，0），
设异面直线AC及A₁B₁的公共法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AC =2y=0 n • A1B1 = 3 x+y=0

，∴

n

=（0，0，1），

AA1

=（0，0，2），
∴面直线AC及A₁B₁的距离d₁=

| AA1 • n |

| n |

=

2

1

=2．
（2）

A1B

=（

3

，1，-2），

A1C

=（0，2，-2），
设平面A₁BC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • A1B = 3 a+b-2c=0 m • A1C =2b-2c=0

，取b=1，得

m

=（

3

3

，1，1），

A1C1

=（0，2，0），
点C₁到平面A₁BC的距离d₂=

| A1C1  • m |

| m |

=

2

1 3 +1+1

=

3 21

7

．
（3）∵A1B=A1C=

1+1

=

2

，BC=2，
∴S△A1BC=

1

2

×2×

(2 2 )2-1

=

7

，
∴三棱锥C₁-A₁BC的体积V=

1

3

S△A1BC•d2=

1

3

×

7

×

3 21

7

=

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．