Question

【题目】已知函数；

(Ⅰ)若m=1，求证： 在(0，+∞)上单调递增；

(Ⅱ)若，试讨论g(x)零点的个数.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 当m<1时，g(x)没有零点；m=1时，g(x)有一个零点；m>1时，g(x)有两个零点

【解析】试题分析：(Ⅰ) m=1时， ，要证在上单调递增，只要证： 对x>0恒成立，令，通过求导可证得，令，通过求导可证得，所以即得证；

(Ⅱ) 由有，显然是增函数，令，得即∴g(x)在(0，x0]上是减函数，在[x0，+∞)上是増函数，∴g(x)有极小值，g(x0) =，分情况讨论

①当m=1时②m<1时③当m>1时三种情况通过求导研究单调性，最值即可得解.

试题解析：

(Ⅰ)m=1时， ，

要证在上单调递增，只要证： 对x>0恒成立，

令，则，当时， ，

当x<1时, ,故在上单调递减，在上单调递增

所以,即 (当且仅当x=1时等号成立)，

令，则，

当0<x<1时， ,当时， ,故j(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，

所以,即 (当且仅当x =1时取等号)，

(当且仅当x =1时等号成立)

在上单调递增.

(Ⅱ)由有，显然是增函数，

令，得，

则时， 时， ，

∴g(x)在(0，x0]上是减函数，在[x0，+∞)上是増函数，

∴g(x)有极小值，g(x0) =

①当m=1时， ，g(x)极小值=g(1) =0，g(x)有一个零点1；

②m<1时，0<x0<1， ，g(x)没有零点；

③当m>1时，x0>1，g(x0)<1-0-1=0,又

又对于函数时,

∴当x>0时，y>1-0-1 = 0，即，

∴g(3m) = ，

令，则，

∵m>1, ∴，∴t(m)>t(1)==2-ln3>0，∴g(3m)>0，

又∴有两个零点，

综上，当m<1时，g(x)没有零点；m=1时，g(x)有一个零点；m>1时，g(x)有两个零点.