Question

已知下列四个命题：
①函数f（x）=2^x满足：对任意x₁、x₂∈R且x₁≠x₂都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]；
②函数f（x）=log₂（x+

1+x2

），g（x）=1+

2

2x-1

不都是奇函数；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=-2；
④设x₁、x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x₁x₂=1，
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：①函数f（x）=2^x是凹函数，对任意x₁、x₂∈R且x₁≠x₂都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立，故正确；
②f（x）+f（-x）=log₂（x+

1+x2

）+log₂（-x+

1+x2

）=0，∴f（x）=log₂（x+

1+x2

）是奇函数，故②不正确；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），则f（x+2）=-f（x），f（x+4）=f（x），∴f（7）=f（-1），
∵f（-1）=-f（1）且f（1）=2，∴f（7）=-2，正确；
④设x₁、x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x₁x₂=1，
∵|log_ax|=k（a＞0，a≠1），∴log_ax=±k，∴x₁=a^k，x₂=a^-k，则x₁x₂=a^k•a^-k=a⁰=1，∴命题正确；
所以，正确命题的序号是：①③④
故答案为：①③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数单调的性质与图象的变换以及方程的知识，是容易出错的题目．