Question

11．f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x₀）=0，则点（$\begin{array}{l}{{x_0}，f（{x_0}）}\end{array}$）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，则f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=（　　）

• A． 1008
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）的对称中心，得到f（1-x）+f（x）=2，即可得出．

解答 解：依题意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1）
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016．
故选：D．

点评 本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于中档题．