Question

1．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3，a∈R．
（1）解关于x的不等式g（x）＞0；
（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$g（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：对任意x∈（0，+∞），lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （1）讨论判别式大于0，小于等于0，结合二次函数的图象即可得到所求不等式的解集；
（2）由题意可得xlnx≥$\frac{1}{2}$（-x²+ax-3），即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x＞0恒成立．设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a的范围；
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞））．求得f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，构造新函数m（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），求得最大值，即可得证．

解答 解：（1）g（x）＞0，即为x²-ax+3＜0，
当△≤0，即a²-12≤0，即有-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$时，不等式无实数解；
当△＞0，即a＜-2$\sqrt{3}$或a＞2$\sqrt{3}$，
方程x²-ax+3=0的解为x₁=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$，x₂=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$．
且x₁＞x₂，则不等式的解为x₂＜x＜x₁；
综上可得，当-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$时，原不等式的解集为∅；
当a＜-2$\sqrt{3}$或a＞2$\sqrt{3}$时，原不等式的解集为（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$）．
（2）对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$g（x）恒成立，
即为xlnx≥$\frac{1}{2}$（-x²+ax-3），即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x＞0恒成立．
设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，导数h′（x）=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减．
则h（x）在x=1处取得极小值，且为最小值4．
则a≤4，可得a的取值范围是（-∞，4]；
证明：（3）问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞））．
由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的导数为f′（x）=1+lnx，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f（x）递增；当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f（x）递减．
即有f（x）的最小值是-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=$\frac{1}{e}$时取到，
设m（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），则m′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
当x＞1时，m（x）递减；0＜x＜1时，m（x）递增．
易知m（x）_max=m（1）=-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=1时取到．
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$．

点评 本题考查二次不等式的解集，注意讨论判别式的符号，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法求最值，考查不等式的证明，注意运用转化思想，构造函数求最值的关系，属于中档题．