Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点

(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；

(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由消去y，得 (3-a2)x2-2ax-2=0. ① 依题意 即-＜a＜且a≠±3. ② 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB. ∴x1x2+y1y2=0. 但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1, 由③④，x1+x2=,x1x2=. ∴(a2+1)·+a·+1=0. 解得a=±1且满足②. (2)假设存在实数a，使A、B关于y=x对称，则直线y=ax+1与y=x垂直， ∴a·=-1，即a=-2. 直线l的方程为y=-2x+1. 将a=-2代入③得x1+x2=4. ∴AB中点横坐标为2， 纵坐标为y=-2×2+1=-3. 但AB中点(2，-3)不在直线y=x上, 即不存在实数a，使A、B关于直线y=x对称.