Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称？说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立方程

3x2-y2=1 y=ax+1

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入直线y=ax+1可求y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1），由题意可得，

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可求a的值．
（2）假定存在这样的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=

1

2

x对称．则由

3x12-y12=1 3x22-y22=1

，两式相减得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，由题意可知

y1+y2 2 =  1 2 × x1+x2 2 y1-y2 x1-x2 = -2

，整理可求

解答：解：（1）联立方程

3x2-y2=1 y=ax+1

，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0．…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么：

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2=- 2 3-a2 △=(2a)2+8(3-a2)＞0

…（4分）
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
所以：x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
∴(a2+1)×

-2

3-a2

+a×

2a

3-a2

+1=0，a2＜6，
∴-2（a²+1）+2a²+3-a²=0
即a²=1
解得a=±1…（6分）
（2）假定存在这样的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=

1

2

x对称．…（8分）
那么：

3x12-y12=1 3x22-y22=1

，两式相减得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，从而

y1-y2

x1-x2

=

3(x1+x2)

y1+y2

…(*)
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=

1

2

x对称，所以

y1+y2 2 =  1 2 × x1+x2 2 y1-y2 x1-x2 = -2

代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=

1

2

x对称．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与双曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，点关于直线对称性质的应用，属于综合性试题