Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1；
（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值．

Answer 1

分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用二次项非0，且判别式等于0或二次项为0可求得a．
（2）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OP⊥OQ，推断出y₁y₂=-x₁x₂．根据韦达定理表示出x₁x₂．进而根据直线方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．

解答：解：（1）联立方程组

3x2-y2=1 y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．
∵直线l与曲线C有两个交点P、Q，
∴

3-a2≠ 0 △=4a2-4(3-a2)×(-2)=0

或a²-3=0
∴

a2-3≠0 a2-6=0

或a=±

3

∴a=±

3

或a=±

6

（2）设点P、Q的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
由（1）可知，

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

．
∵以线段PQ为直径的圆经过原点，
∴

OP

⊥

OQ

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．