Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x．当x∈[-1，1]时，求函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：由x∈[-1，1]可得(

1

3

)x∈[

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3

，3]，结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，即可得到函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）的表达式．

解答： 解：∵x∈[-1，1]，
∴(

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3

)x∈[

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3

，3]，
y=f2(x)-2af(x)+3=[(

1

3

)x]2-2a(

1

3

)x+3=[(

1

3

)x-a]2+3-a2，…（3分）

当a＜ 1 3 时，ymin=g(a)= 28 9 - 2a 3 ； 当 1 3 ≤a≤3时，ymin=g(a)=3-a2；

当a＞3时，y_min=g（a）=12-6a…（7分）
∴g(a)=

28 9 - 2a 3 (a＜ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ≤a≤3) 12-6a(a＞3)

…（10分）

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分段函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．