Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的四个顶点构成面积为4的四边形，C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点T（t，2）（t≠0）的直线TA，TB分别与C相交于P，Q两点，若△TAB的面积是△TPQ的面积的λ倍，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和准线方程，结合四边形的面积，椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到；
（2）分别求出直线PB，TC的方程，代入椭圆方程，求得交点P，Q的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{1}{2}$•2a•2b=4，即有ab=2，
a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由A（0，1），B（0，-1），T（t，2），
则直线TA：y=$\frac{1}{t}$x+1，代入椭圆方程可得，（1+$\frac{4}{{t}^{2}}$）x²+$\frac{8}{t}$x=0，
解得x_P=-$\frac{8t}{4+{t}^{2}}$，
直线TB：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入椭圆方程可得x_Q=$\frac{24t}{36+{t}^{2}}$，
λ=$\frac{{S}_{△TAB}}{{S}_{△TPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}TA•TB•sin∠ATB}{\frac{1}{2}TP•TQ•sin∠PTQ}$=$\frac{TA•TB}{TP•TQ}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{A}}{{x}_{T}-{x}_{P}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-xQ}$
=$\frac{t}{t+\frac{8t}{4+{t}^{2}}}$•$\frac{t}{t-\frac{24t}{36+{t}^{2}}}$=$\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$，
令t²+12=m＞12，则λ=$\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}$=1+$\frac{16}{m}$-$\frac{192}{{m}^{2}}$=-192（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{24}$）²+$\frac{4}{3}$≤$\frac{4}{3}$，
当且仅当m=24，即t=±2$\sqrt{3}$时，取得“=”，
所以λ的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．