题目内容

12．已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）＞0，当0＜m＜n＜1时，下面选项中最大的一项是（　　）
A．$\frac{f（{m}^{n}）}{{m}^{n}}$B．logmn•f（lognm）C．$\frac{f（{n}^{m}）}{{n}^{m}}$D．lognm•f（logmn）

分析 通过构造新函数构造函数F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函数，得到logn（m）最大，从而得出答案．

解答 解：构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即F（x）在R上是增函数，
又由0＜m＜n＜1，知mn，nm＜1，
而logm（n）＜logm（m）=1，
logn（m）＞logn（n）=1，
故在mn＜nm，logm（n），logn（m）中logn（m）最大，
故F（logn（m））=logmn•f（lognm）最大
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，是一道中档题．

练习册系列答案
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2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的四个顶点构成面积为4的四边形，C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点T（t，2）（t≠0）的直线TA，TB分别与C相交于P，Q两点，若△TAB的面积是△TPQ的面积的λ倍，求λ的最大值．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，1+2cos（B+C）=0，则BC边上的高为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
20．已知一非零向量数列{an}满足$\overrightarrow{a_1}$=（2，0），$\overrightarrow{a_n}$=（xn，yn）=$\frac{1}{2}$（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）（n≥2且n∈N*）．给出以下结论：
①数列{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是等差数列，
②|${\overrightarrow{a_2}}$|•|${\overrightarrow{a_6}}$|=$\frac{1}{2}$；
③设cn=2log2|${\overrightarrow{a_n}}$|，则数列{cn}的前n项和为Tn，当且仅当n=2时，Tn取得最大值；
④记向量$\overrightarrow{a_n}$与$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$的夹角为θn（n≥2），均有θn=$\frac{π}{4}$．
其中所有正确结论的序号是④．
7．已知函数f（x）=x3-2ax2+bx，
（Ⅰ）f（x）在点P（1，3）处的切线为y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求f（x）在[-1，4]上的值域．
17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．
（Ⅰ）若直线AB经过点F（1，0），求|AB|的值；
（Ⅱ）若AB的中垂线交x轴于点M，M到直线AB的距离为d，且$\frac{|AB|}{d}$=$\sqrt{3}$，求直线AB的方程．
4．如图，点A，B，C是椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线x=4上的两个动点．
（1）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与直线BP的交点在椭圆上；
（2）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，PF1⊥QF2，证明以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出该定点坐标．
1．设全集U=R，集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合∁U（A∪B）等于（　　）
A．（-∞，-2]B．（-∞，0]∪[2，+∞）C．（3，+∞）D．（-∞，-2]∪（3，+∞）
2．已知命题p：?x∈R，x2＞3，则￢p为（　　）
A．?x∈R，x2＜3B．?x∈R，x2≤3C．?x∈R，x2＜3D．?x∈R，x2≤3

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