题目内容
如图，椭圆C1：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求C1，C2的方程；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E．
（i）证明：MA⊥MB；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得
| S1 |
| S2 |
| 17 |
| 32 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题意知e=
=
，2
=a，由此能求出C1，C2的方程．
（2）（i）设直线l的方程为y=kx．由
得x2-kx-1=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明MA⊥MB．
（ii）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，由
，得点A(k1，k12-1)，由时B(-
，
-1)．于是S1=
|MA|•|MB|=
•|k1|•
•|-
|=
，同理S2=
|MD|•|ME|=
，由题意知，
(4k12+
+17)=
，由此求出满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y=
x和y=-
x．
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| b |
（2）（i）设直线l的方程为y=kx．由
|
（ii）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，由
|
| 1 |
| k1 |
| 1 |
| k12 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1+k12 |
1+
|
| 1 |
| k1 |
| 1+k12 |
| 2|k1| |
| 1 |
| 2 |
| 32(1+k12)•|k1| |
| (1+4k12)(4+k12) |
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| k12 |
| 17 |
| 32 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：
（1）解：由题意知e=
=
，
从而a=2b，又2
=a，解得a=2，b=1．
故C1，C2的方程分别为
+y2=1，y=x2-1．（4分）
（2）（i）证明：由题意知，直线l的斜率存在，
设为k，则直线l的方程为y=kx．
由
得x2-kx-1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1+x2=k，x1x2=-1，（5分）
又点M的坐标为（0，-1），
∴kMA•kMB=
•
=
=
=
=-1，（7分）
故MA⊥MB，得证．
（ii）解：设直线的斜率为k1，
则直线的方程为y=k1x-1，
由
，解得
或
，
则点A的坐标为(k1，k12-1)
又直线MB的斜率为-
，
同理可得点B的坐标为(-
，
-1)．
于是S1=
|MA|•|MB|=
•|k1|•
•|-
|=
．（8分）
由
，得(1+4k12)x2-8k1x=0，
解得
或
，
则点D的坐标为(
，
)，
又直线的斜率为-
，同理可得点E的坐标(
，
)，
于是S2=
|MD|•|ME|=
，（10分）
因此
=
(4k12+
+17)，（12分）
由题意知，
(4k12+
+17)=
，
解得k12=4，或k12=
．（12分）
又由点A，B的坐标可知，k=
=k1-
，∴k=±
．
故满足条件的直线l存在，且有两条，
其方程分别为y=
x和y=-
x．（13分）
| c |
| a |
| ||
| 2 |
从而a=2b，又2
| b |
故C1，C2的方程分别为
| x2 |
| 4 |
（2）（i）证明：由题意知，直线l的斜率存在，
设为k，则直线l的方程为y=kx．
由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1+x2=k，x1x2=-1，（5分）
又点M的坐标为（0，-1），
∴kMA•kMB=
| y1+1 |
| x1 |
| y2+1 |
| x2 |
| (kx1+1)(kx2+1) |
| x1x2 |
=
| k2x1x2+k(x1+x2)+1 |
| x1x2 |
| -k2+k2+1 |
| -1 |
故MA⊥MB，得证．
（ii）解：设直线的斜率为k1，
则直线的方程为y=k1x-1，
由
|
|
|
则点A的坐标为(k1，k12-1)
又直线MB的斜率为-
| 1 |
| k1 |
同理可得点B的坐标为(-
| 1 |
| k1 |
| 1 |
| k12 |
于是S1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1+k12 |
1+
|
| 1 |
| k1 |
| 1+k12 |
| 2|k1| |
由
|
解得
|
|
则点D的坐标为(
| 8k1 |
| 1+4k12 |
| 4k12-1 |
| 1+4k12 |
又直线的斜率为-
| 1 |
| k1 |
| -8k1 |
| 4+k12 |
| 4-k12 |
| 4+k12 |
于是S2=
| 1 |
| 2 |
| 32(1+k12)•|k1| |
| (1+4k12)(4+k12) |
因此
| S1 |
| S2 |
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| k12 |
由题意知，
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| k12 |
| 17 |
| 32 |
解得k12=4，或k12=
| 1 |
| 4 |
又由点A，B的坐标可知，k=
k12-
| ||
k1+
|
| 1 |
| k1 |
| 3 |
| 2 |
故满足条件的直线l存在，且有两条，
其方程分别为y=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆方程和曲线方程的求法，考查满足条件的直线方程的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．
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