Question

已知f（x+1）是偶函数，f（x+2）是奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2^x-1，则f（log₂1008）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+1）是偶函数，f（x+2）是奇函数，可得f（-x+1）=f（x+1），f（-x+2）=-f（x+2）．于是f（x+2）=-f（-（x-1）+1）=-f（x-1+1）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即函数f（x）是以4为周期的函数．又9＜log₂1008＜10，1＜log₂1008-8＜2．可得0＜2-log2

63

16

＜1．即可得出．

解答： 解：∵f（x+1）是偶函数，f（x+2）是奇函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），f（-x+2）=-f（x+2）．
∴f（x+2）=-f（-（x-1）+1）=-f（x-1+1）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
即函数f（x）是以4为周期的函数．
∴9＜log₂1008＜10．
∴1＜log₂1008-8＜2．
∴0＜2-log2

63

16

＜1．
∴f（log₂1008）=f(log2

63

16

)
=f(1+log2

63

16

-1)
=f(1-(log2

63

16

-1))
=f(2-log2

63

16

)=f(log2

64

63

)=2log2

64

63

-1=

1

63

．
故答案为：

1

63

．

点评：本题考查了函数的奇偶性及其周期性、对数和指数函数的运算法则，考查了推理能力和计算能力，属于难题．