Question

16．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，E是CD上一点，且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=λ|$\overrightarrow{AD}$|．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$²，则λ等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由向量的加减运算，可得E是CD的中点，再由向量的平行四边形和三角形法则，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，可得2λ²-λ-6=0，解方程可得所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DE}$，
得$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，即E是CD的中点，
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AD}$²，
由∠BAD=60°，|$\overrightarrow{AB}$|=λ|$\overrightarrow{AD}$|，
可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}$λ²$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$λ$\overrightarrow{AD}$²•$\frac{1}{2}$-$\overrightarrow{AD}$²，
由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$²，
即有2λ²-λ-6=0，
得λ=2或λ=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
故选：C．

点评 本题考查向量的加减和数乘运算，以及向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．