Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+p•3ⁿ（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

n2

an

，证明b_n≤

4

9

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推思想分别求出a₂=3+3p，a₃=3+12p，由此利用a₁，a₂+6，a₃成等差数列，求出p=2．利用叠加法求出a_n=3ⁿ．
（2）b_n=

n2

an

=

n2

3n

．构造f（x）=

x2

3x

，利用导数性质求出f（x）_max=f（2）=

4

9

，x∈N^*．由此能证明b_n≤

4

9

．

解答： （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+p•3ⁿ（n∈N^*，p为常数），
∴a₂=3+3p，a₃=3+12p，
∵a₁，a₂+6，a₃成等差数列．∴2a₂+12=a₁+a₃，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a_n+1=a_n+p•3ⁿ，
∴a₂-a₁=2•3，a₃-a₂=2•3²，…，a_n-a_n-1=2•3^n-1，
将这些式子全加起来 得
a_n-a₁=3ⁿ-3，
∴a_n=3ⁿ．
（2）证明：∵{b_n}满足b_n=

n2

an

，∴b_n=

n2

3n

．
设f（x）=

x2

3x

，则f′（x）=

2x•3x-ln3•3x•x2

32x

，x∈N^*，
令f′（x）=0，得x=

2

ln3

∈（1，2）
当x∈（0，

2

ln3

）时，f′（x）＞0；当x∈（

2

ln3

，+∞）时，f′（x）＜0，
且f（1）=

1

3

，f（2）=

4

9

，
∴f（x）_max=f（2）=

4

9

，x∈N^*．
∴b_n≤

4

9

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．