题目内容
设矩阵M=
，如果关于x、y的方程组M
=
没有实数解，那么矩阵M是否有非零特征值？如果有，求出这个特征值和对应的一个特征向量；如果没有，说明理由．
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考点：特征值与特征向量的计算
专题：矩阵和变换
分析：本题可先将方程组M
=
转化为普通方程组，然后求解，当解不存在时，得到a的值，再利用求出的a值，代入矩阵中，求出矩阵的特征多项式，解对应方程，求出特征值，如果有解，再代入方程中，求出它的一个特征向量．
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解答：
解：∵矩阵M=
，
∴方程组M
=
可化为：
，
∴（a-2）y=4．
∵关于x、y的方程组M
=
没有实数解，
∴a=2．
∴矩阵M=
．
∴矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=
=（λ-2）2-4，
令f（λ）=0，
则（λ-2）2-4=0，λ=0或λ=4，
∴λ=4．
当λ=4时，
，
取x=1，则y=2，
特征向量
=
．
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∴方程组M
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∴（a-2）y=4．
∵关于x、y的方程组M
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∴a=2．
∴矩阵M=
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∴矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=
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令f（λ）=0，
则（λ-2）2-4=0，λ=0或λ=4，
∴λ=4．
当λ=4时，
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取x=1，则y=2，
特征向量
| α |
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点评：本题考查的是矩阵的乘法、矩阵的特征值和特征向量，本题思维量适中，有一定计算量，属于中档题．
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①{0}=∅，
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等比数列{an}中，q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=25，则a1+a2+…+a10等于（ ）
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