某农科所发现.一中作物的年收获量y与它相近“作物的株数x具有线性相关关系(所谓两株作物相近“是指它们的直线距离不超过1m).并分别记录了相近作物的株数为1.2.3.5.6.7时.该作物的年收获量的相关数据如下:X123567y605553464541(Ⅰ)求该作物的年收获量y关于它相近“作物的株数x的线性回归方程,(Ⅱ)农科所在如图所示的正方形地块的每个格点� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

某农科所发现，一中作物的年收获量y（单位：kg）与它”相近“作物的株数x具有线性相关关系（所谓两株作物”相近“是指它们的直线距离不超过1m），并分别记录了相近作物的株数为1，2，3，5，6，7时，该作物的年收获量的相关数据如下：

X	1	2	3	5	6	7
y	60	55	53	46	45	41

（Ⅰ）求该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程；
（Ⅱ）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每一个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．（注：年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据）
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

分析（Ⅰ）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（Ⅱ）利用回归直线过程，求出x=2、3、4时对应$\stackrel{∧}{y}$的值；
计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．

解答解：（Ⅰ）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（1+2+3+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（60+55+53+46+45+41）=50，
$\sum_{i=1}^{6}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×10+（-2）×5+（-1）×3+1×（-4）+2×（-5）+3×（-9）=-84，
$\sum_{i=1}^{6}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-3）²+（-2）²+（-1）²+1²+2²+3²=28；
∴回归系数为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-84}{28}$=-3，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=50-（-3）×4=62，
∴该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=-3x+62；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中回归直线过程知，当x=2时，$\stackrel{∧}{y}$=-3×2+62=56；
当x=3时，$\stackrel{∧}{y}$=-3×3+62=53；
当x=4时，$\stackrel{∧}{y}$=-3×4+62=50；
∴P（y=56）=P（X=2）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（Y=53）=P（X=3）=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$，
P（Y=50）=P（X=4）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$；
∴年收获量Y的分布列