Question

3．将函数f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x-$\frac{π}{6}$）+g（x）的叙述正确的是（　　）

• A． 函数的最大值为2$\sqrt{3}$，最小值为-2$\sqrt{3}$
• B． x=$\frac{2π}{3}$是函数的一条对称轴
• C． 函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z
• D． 将y=g（x-$\frac{π}{6}$）+g（x）图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=$\sqrt{3}$sin2x的图象

Answer 1

分析 由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．

解答 解：将函数f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
所给的函数y=g（x-$\frac{π}{6}$）+g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-cos2x+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
所以y的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$，故A错误；
但x=$\frac{2π}{3}$时，y=0，故x=$\frac{2π}{3}$不是对称轴，故B错误；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得 kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$．故C正确；
将函数向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到 y=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），故D错误，
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，属于基础题．