Question

（1）求实轴长为6，渐近线方程为y=±

3

2

x的双曲线的标准方程．
（2）已知椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，点P在椭圆上，且|PF₁|=

5

2

，求cos∠F₁PF₂的值．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由题意，得

2a=6 b a = 3 2

；当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）由题意得

2a=6 a b = 3 2

．由此能求出双曲线的方程．
（2）由已知得|PF₁|=

5

2

，|PF₂）=

3

2

，|F₁F₂|=2c=2，由余弦定理能求出cos∠F₁PF₂．

解答： 解：（1）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由题意，得

2a=6 b a = 3 2

，解得a=3，b=

9

2

．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

x2

9

-

y2

81 4

=1．
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由题意得

2a=6 a b = 3 2

，解得a=3，b=2，
∴焦点在y轴上的双曲线的方程为

y2

9

-

x2

4

=1．
（2）∵椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，点P在椭圆上，|PF₁|=

5

2

，
∴|PF₂）=

3

2

，又|F₁F₂|=2c=2，
由余弦定理cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

25 4 + 9 4 -4

2× 5 2 × 3 2

=

3

5

．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．