题目内容
（1）求证：tan2x+
=
（2）若tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1．
| 1 |
| tan2x |
| 2(3+cos4x) |
| 1-cos4x |
（2）若tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1．
考点：三角函数恒等式的证明
专题：推理和证明
分析：（1）将左边的“切”化“弦”，利用三角函数间的关系式、二倍角的余弦化简整理即可证得结论成立；
（2）将左边的“切”化“弦”后通分，等号两端各加“1”，利用三角函数间的关系式，即可证得等式成立．
（2）将左边的“切”化“弦”后通分，等号两端各加“1”，利用三角函数间的关系式，即可证得等式成立．
解答：
证明：（1）左边=
+
=
=
=
=
=
=
=右边．
∴tan2x+
=
．
（2）证明：∵tan2α=2tan2β+1，∴
=
+1，
∴1+
=
+2，即
=
，即
=
，
∴2（1-sin2α）=1-sin2β，
∴sin2β=2sin2α-1．
| sin2x |
| cos2x |
| cos2x |
| sin2x |
| (sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x |
| sin2x•cos2x |
=
1-
| ||
|
| 8-4sin22x |
| 2sin22x |
| 4+4cos22x |
| 1-cos4x |
=
| 4+2(1+cos4x) |
| 1-cos4x |
| 2(3+cos4x) |
| 1-cos4x |
∴tan2x+
| 1 |
| tan2x |
| 2(3+cos4x) |
| 1-cos4x |
（2）证明：∵tan2α=2tan2β+1，∴
| sin2α |
| cos2α |
| 2sin2β |
| cos2β |
∴1+
| sin2α |
| cos2α |
| 2sin2β |
| cos2β |
| sin2α+cos2α |
| cos2α |
| 2sin2β+2cos2β |
| cos2β |
| 1 |
| cos2α |
| 2 |
| cos2β |
∴2（1-sin2α）=1-sin2β，
∴sin2β=2sin2α-1．
点评：本题考查三角函数恒等式的证明，考查转化思想与综合运算、推理能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| ||
B、
| ||
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| ||
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|
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| 2 |
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