Question

15．若不等式|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|≤a有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥2
• B． a＜2
• C． a≥1
• D． a＜1

Answer 1

分析 令f（x）=|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，问题转化为a≥f（x）_min，求出a的范围即可．

解答 解：令f（x）=|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|，
①x≥1时，f（x）=x+2-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在[1，+∞）递增，
故f（x）_min=f（1）=2，
②0＜x＜1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$＜0，
故f（x）在（0，1）递减，
f（x）＞f（1）=2，
③-1＜x＜0时，f（x）=x+2-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在（-1，0）递增，
f（x）＞f（-1）=2，
④x≤-1时，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，f（x）在（-∞，-1]递减，
f（x）＞f（-1）=2，
综上，f（x）的最小值是2，
若不等式|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|≤a有解，
即a≥f（x）_min，
故a≥2，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．