Question

给出下列命题：
①若p+q＞m+n，则一定有p＞m或q＞n；
②若a＞0，b＞0，且

2

a

+

1

b

=1，则ab≥4；
③曲线y=x²和曲线y²=x围成的图形面积是

1

3

；
④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P，则P（-1＜ξ＜0）=

1

2

-P．
正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,不等式的解法及应用,概率与统计

分析：①可通过假设p≤m且q≤n，由不等式的性质，即可推出矛盾，从而得到①正确；
②直接运用基本不等式，即可求出ab的范围；
③画出图，运用定积分∫

1 0

（

x

-x²）dx，求出即得面积；
④根据正态分布的特点：正态曲线关于x=0对称，以及概率的特点，即可求出P（-1＜ξ＜0）．

解答： 解：①假设p≤m且q≤n，则p+q≤m+n，
这与p+q＞m+n矛盾，故①正确；
②若a＞0，b＞0，且

2

a

+

1

b

=1，
由

2

a

+

1

b

≥2

2 ab

，得ab≥8，故②错；
③曲线y=x²和曲线y²=x围成的图形如右图，
由

y=x2 y2=x

解得

x=0 y=0

或

x=1 y=1

，即A（1，1），
故所求面积为∫

1 0

（

x

-x²）dx=（

2

3

x

3

2

-

1

3

x³）|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

，故③正确；
④由于随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），则正态曲线关于x=0对称，由P（ξ＞1）=p，
则P（1＞ξ＞0）=

1

2

-p，故P（-1＜ξ＜0）=

1

2

-p，故④正确．
故选C．

点评：本题以命题的真假为载体，考查不等式的性质及基本不等式的应用，定积分的运用，正态分布的特点及概率的计算，属于基础题．