Question

圆M的圆心在直线y=-2x上，且与直线x+y=1相切于点A（2，-1），
（Ⅰ）试求圆M的方程；
（Ⅱ）从点P（3，1）发出的光线经直线y=x反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围．

Answer 1

考点：关于点、直线对称的圆的方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）先确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（Ⅱ）设发出光线所在直线的斜率为k，求出发射光线所在直线的方程，再利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式，即可得出结论．

解答： 解：（I）由题意知：过A（2，-1）且与直线x+y=1垂直的直线方程为：y=x-3
∵圆心在直线：y=-2x上，
∴由 

y=-2x y=x-3

⇒

x=1 y=-2

即M（1，-2），且半径r=|AO1|=

(2-1)2+(-1+2)2

=

2

，
∴所求圆的方程为：（x-1）²+（y+2）²=2．      …（6分）（得到圆心给2分）
（Ⅱ）圆M关于直线y=x对称的圆为（x+2）²+（y-1）²=2，
设发出光线为y-1=k（x-3）
化简得kx-y-3k+1=0，由

2

=

|-2k-1-3k+1|

1+k2

得k=±

46

23

，
所以发出光线所在直线的斜率取值范围为[-

46

23

，

46

23

]．      …（12分）

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．