Question

已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x₁，x₂∈[0,1]，且x₁<x₂，都有f(x₁)>f(x₂)，则f，f(2)，f(3)从小到大的关系是________．

Answer 1

f(3)<f<f(2)

[解析]　由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.

因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；根据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数．

因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1,2]上，1<<2，

所以f(1)<f<f(2)，

即f(3)<f<f(2)．