Question

3．（Ⅰ）求$\frac{1+cos20°}{2sin20°}$-2sin10°•tan80°的值．
（Ⅱ）已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$．求β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式升幂，同时化切为弦，结合两角和与差的三角函数化简求值；
（Ⅱ）由已知求得sin（α-β），然后利用拆角配角思想得答案．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{1+cos20°}{2sin20°}$-2sin10°•tan80°
=$\frac{2co{s}^{2}10°}{4sin10°cos10°}$-2sin10°•$\frac{sin80°}{cos80°}$
=$\frac{cos10°}{2sin10°}$-$\frac{2sin10°cos10°}{sin10°}$
=$\frac{cos10°}{2sin10°}$-$\frac{sin20°}{sin10°}$=$\frac{cos10°-2sin20°}{2sin10°}$
=$\frac{cos10°-2sin（30°-10°）}{2sin10°}$
=$\frac{cos10°-2（sin30°cos10°-cos30°sin10°）}{2sin10°}$
=$\frac{cos10°-2（\frac{1}{2}cos10°-\frac{\sqrt{3}}{2}sin10°）}{2sin10°}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$＞0，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
于是，cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{1}{7}$×$\frac{13}{14}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$，
∴β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，是中档题．