Question

(本小题满分12分) 已知点，直线及圆.
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)若直线与圆相切，求的值；
(3)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值．

Answer 1

(1) x＝3或3x－4y－5＝0.(2) a＝0或a＝. (3) a＝－.

解析试题分析：（1）研究过一点的圆的切线方程问题，要确定点的位置，是否为圆上的点，然后确定直线的斜率是否存在两种情况分析得到结论。
（2）因为直线与圆相切，那么则有圆心到直线的距离等于圆的半径，得到结论。
（3）结合圆的半径和半弦长和弦心距的勾股定理求解得到参数的值。
解：(1)由题意可知M在圆(x－1)²＋(y－2)²＝4外，
故当x＝3时满足与圆相切．          ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分
当斜率存在时设为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.
由＝2，∴k＝，        ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知＝2，  ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
∴a＝0或a＝.                    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
(3)圆心到直线的距离d＝，         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
又l＝2，r＝2，                   
∴由r²＝d²＋()²，可得a＝－.         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分
考点：本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的综合运用。重点是求解相切的情况，以及相交时的弦长问题的运用。
点评：解决该试题的关键是能利用直线与圆的位置关系的判定，那就是圆心到直线的距离和原点半径的关系来得到关系式，进而求解。